宿木庵

webで設定しようとするとぼやけてしまうので、api経由での設定をおすすめします。
ご利用のtwitterクライアントがアイコン設定に対応していればそこから、そうでない場合はTwitterのアイコンをAPI経由でアップロードするツールなどを利用すると便利です。

Windows 10での設定方法 (2018-07-07現在)

1. [Windowsの設定] (右下の通知欄から[すべての設定])
2. [個人用設定]
3. [テーマ]
4. [マウスカーソル]
5. 「カスタマイズ」で設定を変更したい項目を選択した状態で「参照」で保存した.aniファイルを呼び出す
6. 「OK」を押す前に（元に戻せるように）「名前を付けて保存」することをおすすめします

Windows 7での設定方法

1. [スタートメニュ] (左下のウィンドウズマーク)
2. [コントロールパネル]
3. [マウス]
   • カテゴリ表示をしている場合は[ハードウェアとサウンド]に入っています
4. [ポインター]タブ
5. 「カスタマイズ」で設定を変更したい項目を選択した状態で「参照」で保存した.aniファイルを呼び出す
6. 「OK」を押す前に（元に戻せるように）「名前を付けて保存」することをおすすめします

Windowsの他のバージョンもおそらく似たような方法で設定できるのではないかと思います。
Windows 8で使う時、使いたいファイルをC:\Windows\Cursorsにコピーした上で設定を保存すると維持されるとのことです。
Mac用は、やり方がないわけではないようですが、システム環境設定からできない以上は紹介すべきではないと判断しました。どうしてもやりたい方は検索してみてください。